Да, из IST идёт линия метро M11 прямо из-под аэропорта. Едешь на M11 до пересадки, дальше по городским линиям в сторону старого города (Султанахмет — по трамвайной линии). Покупаешь Istanbulkart на входе, ей платишь весь путь. Новый аэропорт далеко от центра, так что закладывай на дорогу в одну сторону около часа с лишним.
При 6 часах — впритык и нервно, туда-обратно 2.5 часа плюс контроль на возврат. Реально гулять есть смысл от 8+ часов транзита. Иначе лучше лаунж и отдых в аэропорту.